Тема № 3. Физика колебательных процессов

Колебания – это периодическое изменение положения тела или системы относительно некоторого центра равновесия. Это изменение положения характеризуется амплитудой и периодом (частотой) колебаний.

Колебания здания представляют собой суперпозицию собственных и вынужденных колебаний, вызванных различными внутренними (работой бытовой техники и технических систем здания) и внешними (городским транспортом, стройками, ветровым воздействием и сейсмической активностью) воздействиями. В таблице 3.1 приведены значения периодов собственных колебаний зданий в зависимости от вида ограждающих конструкций.

Таблица 3.1 – Период собственных колебаний зданий по горизонтальным осям

Число этажей Период, с
Крупнопанельные здания Крупноблочные и кирпичные здания Каркасные здания
0,18-0,27 0,36-0,57 0,46-0,74 0,56-0,91 0,66-1,09 0,76-1,26 0,22-0,35 0,39-0,61 0,47-0,77 0,56-0,93 0,64-1,09 0,73-1,25 0,26-0,42 0,61-0,93 0,81-1,22 1,01-1,51 1,21-1,81 1,41-2,10

При совпадении частот собственных и внешних колебаний возникает резонанс, что может привести к разрушению конструкции отдельных частей здания или сооружения в целом.

При свободных затухающих колебаниях на систему действуют две силы: сила, заставляющая систему совершать колебания, и сила сопротивления среды. Сопротивление среды характеризуется коэффициентомсопротивления, который влияет на затухание колебаний. Поэтому все колебания, возникающие в строениях, являются затухающими.

На площадках, сейсмичность которых превышает 9 баллов, возводить здания и сооружения, как правило, не допускается. При необходимости строительство на таких площадках ведется при обязательном научном сопровождении и участии специализированной научно-исследовательской организации. Проектирование зданий высотой более 75 м и сооружений с пролетами более 50 м также должно осуществляться при участии таких организаций.

Колебания зданий и сооружений могут быть горизонтальными и вертикальными, а также крутильными относительно вертикальной оси. Колебания любого типа подчиняются теории колебательного движения и его законам.

Задание 3.1. Материальная точка совершает гармонические колебания согласно уравнению х=0,02cos(πt+π/2) м. Определить амплитуду, период и начальную фазу колебаний, максимальные скорость и ускорение точки, а также значение времени после начала отсчета, когда точка будет проходить через положение равновесия.

Решение. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

х=Аcos(ωоt+φ),

где А – амплитуда колебаний, м;

ωо – собственная частота колебаний, рад/с;

t – время колебаний, с;

φ – начальная фаза колебаний, рад.

Период колебаний и собственная частота связаны между собой соотношением

Т=2π/ωо.

С помощью данных выражений получено: амплитуда колебаний равна 0,02 м, начальная фаза – π/2, период – 2 с.

Скорость колебаний определяется как первая производная координаты по времени, ускорение – как вторая производная. Отсюда следует

υ=-0,02πsin(πt+π/2)

и

a=-0,02π2cos(πt+π/2).

Данные величины принимают максимальные значения при равенстве единице тригонометрических функций, следовательно,

υmax=0,02π м/с

и

amax=0,02π2 м/с2.

При определении времени прохождения точки через положение равновесия после начала отсчета необходимо приравнять координату к нулю и решить тригонометрическое уравнение

0,02cos(πt+π/2)=0.

В данном случае время определяется набором натуральных чисел, которые показывают значения времени в секундах после начала колебаний, когда точка будет проходить через положение равновесия, то есть 0, 1, 2, 3, 4 и так далее.

Ответ: А=0,02 м, φ=π/2, Т=2 с, υmax=0,0628 м/с, amax=0,197 м/с2,

t=0, 1, 2, 3, 4, …, с.

Таблица 3.2 – Задание 3.1 по вариантам

№ варианта Уравнение гармонических колебаний, м
х=0,2cos(πt+π)
х=cos(πt+π/4)
х=2cos(πt+π/3)
х=0,04cos(2πt+π/6)
х=0,8cos(5πt)
х=cos(2πt)
х=0,25cos(4πt+π/2)
х=0,5cos(5πt+π/4)
х=cos(πt+π/2)
х=0,1cos(πt)

Задание 3.2. Тело массой 10 г совершает гармонические колебания по закону х=0,1cos(4πt+π/4) м. Определить максимальные значения возвращающей силы и кинетической энергии.

Решение. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

х=Аcos(ωоt+φ),

Скорость колебаний определяется как первая производная координаты по времени, ускорение – как вторая производная. Отсюда следует

υ=-0,4πsin(4πt+π/4)

и

a=-1,6π2cos(4πt+π/4).

Максимальные значения возвращающей силы и кинетической энергии будут определяться через максимальные значения скорости и ускорения

υmax=0,4π м/с

и

amax=1,6π2 м/с2.

Максимальное значение возвращающей силы

Fmax=mamax.

Максимальное значение кинетической энергии

Ekmax=mυ2max/2.

Расчеты дают следующие значения Fmax=0,158 Н, Ekmax=7,89 мДж.

Ответ: Fmax=0,158 Н, Ekmax=7,89 мДж.

Таблица 3.3 – Задание 3.2 по вариантам

№ варианта Масса тела, г Уравнение гармонических колебаний, м
х=0,2cos(πt+π)
х=cos(t+π/4)
х=2cos(t+π/3)
х=0,04cos(2πt+π/6)
х=0,8cos(5πt)
х=cos(2πt)
х=0,25cos(4πt+π/2)
х=0,5cos(5πt+π/4)
х=cos(t+π/2)
х=0,1cos(πt)

Задание 3.3. Материальная точка массой 20 г совершает гармонические колебания по закону х=0,1cos(4πt+π/4) м. Определить полную энергию этой точки.

Решение. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

х=Аcos(ωоt+φ).

Полная энергия точки определяется как сумма кинетической Ек и потенциальной Еп энергий. Кинетическая энергия будет вычисляться по формуле

.

Потенциальная энергия – по формуле

.

Полная энергия точки

.

После вычисления получается значение 15,8 мДж.

Ответ: Е=15,8 мДж.

Таблица 3.4 – Задание 3.3 по вариантам

№ варианта Масса тела, г Уравнение гармонических колебаний, м
х=0,2cos(πt+π)
х=cos(t+π/4)
х=2cos(t+π/3)
х=0,04cos(2πt+π/6)
х=0,8cos(5πt)
х=cos(2πt)
х=0,25cos(4πt+π/2)
х=0,5cos(5πt+π/4)
х=cos(t+π/2)
х=0,1cos(πt)

Задание 3.4. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой 5 см и собственной частотой колебаний π/12 рад/с без начальной фазы. Когда возвращающаяся сила в первый раз достигает значения -12 мН, потенциальная энергия точки оказывается равной 0,15 мДж. Определить этот момент времени.

Решение. Уравнение колебаний в этом случае имеет вид х=0,05cos(πt/12) м. Возвращающая сила определяется по формуле

F=-kx=-Akcosωt,

где k – коэффициент упругости, Н/м.

Потенциальная энергия вычисляется по формуле

.

Взяв отношение потенциальной энергии к силе, получим

.

Из данного равенства выражается время

.

После вычисления получим искомое значение времени 4 с.

Ответ: t=4 с.

Таблица 3.5 – Задание 3.4 по вариантам

№ варианта Амплитуда, см Собственная частота колебаний, рад/с Возвращающаяся сила, мН Потенциальная энергия, мДж
π/2 -5 0,15
π/3 -10
π/4 -15 0,5
π/6 -20 0,25
π/3 -10 0,75
π/2 -20 0,2
π/4 -25 0,4
π/6 -5 0,5
π/12 -12
π/2 -10 0,5

Задание 3.5. На горизонтальной пружине жесткостью k=900 Н/м укреплен шар массой М=4 кг, лежащий на гладком столе, по которому он может скользить без трения. Пуля массой m=10 г, летящая с горизонтальной скоростью υо=600 м/с и имеющая в момент удара скорость, направленную вдоль оси пружины, попала в шар и застряла в нем. Пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определить амплитуду и период колебаний шара.

Решение. Скорость υ движения системы шар-пуля определяется из закона сохранения импульса

mυo=(M+m) υ,

таким образом,

.

Амплитуда колебаний находится из закона сохранения энергии

или

.

Ответ: А=0,1 м.

Таблица 3.6 – Задание 3.5 по вариантам

№ варианта Жесткость пружины, Н/м Масса шара, кг Масса пули, г Скорость пули,м/с

Задание 3.6. Складываются два гармонических колебания одного направления, описываемых уравнениями x1=3cos2πt, x2=3cos(2πt+π/4) см. Определить для результирующего колебания амплитуду и начальную фазу колебаний. Записать уравнение результирующего колебания и представить векторную диаграмму сложения амплитуд.

Решение. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

х=Аcos(ωоt+φ).

Следовательно, собственная частота каждого колебания равна 2π рад/с, амплитуда по 3 см, начальная фаза первого колебаний φ1=0, второго – φ2=π/4.

Амплитуда результирующего колебания определяется по формуле

,

где Δφ=φ2-φ1 – разность фаз. Амплитуда равна 5,54 см.

Фаза результирующего колебания определяется согласно выражению

.

После вычисления получается число π/8. Уравнение результирующего колебания будет иметь вид

х=5,54cos(2πt+π/8) см.

Векторная диаграмма сложения амплитуд представлена на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 – Векторная диаграмма сложения амплитуд

Таблица 3.7 – Задание 3.6 по вариантам

№ варианта Уравнение первого колебания, см Уравнение второго колебания, м
cost 0,01cos(t+π/2)
2cosπt 0,02cos(πt+π/3)
3cosπt 0,03cos(πt+π/3)
4cos2πt 0,04cos(2πt+π/4)
5cost 0,05cos(t+π)
6cost 0,06cost
7cosπt 0,07cos(πt+π/4)
8cosπt 0,08cos(πt+π/3)
9cos2πt 0,09cos(2πt+π/6)
cost 0,01cos(t+π/6)

Задание 3.7. Результирующее колебание, получающееся при сложении двух гармонических колебаний одного направления, описывается уравнением х=Аcostcos45t, время в секундах. Определить циклические частоты складываемых колебаний и период биения результирующего колебания.

Решение. Координата результирующего колебания в этом случае определяется по формуле

,

где ω1 и ω2 – собственные частоты складывающихся колебаний;

А – амплитуда колебания.

Из данного равенства следует

и

.

После вычислений получается, что ω1=46 рад/с и ω2=44 рад/с.

Период биения вычисляется по формуле

,

что дает величину, равную 3,14 с.

Ответ: ω1=46 рад/с, ω2=44 рад/с, Т=3,14 с.

Таблица 3.8 – Задание 3.7 по вариантам

№ варианта Уравнение гармонического колебания, м
х=0,5Аcostcos10t
х=2Аcos2tcos20t
х=Аcos5tcos25t
х=2Аcos10tcos30t
х=Аcos10tcos40t
х=Аcos20tcos50t
х=3Аcos5tcos55t
х=Аcos20tcos60t
х=4Аcos20tcos70t
х=Аcos30tcos80t

Задание 3.8. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x=3cos2ωt и y=4cos(2ωt+π), см. Определить уравнение траектории точки и начертить ее с нанесением масштаба.

Решение. Выполним некоторые преобразования в уравнениях колебания:

y=-4cos2ωt,

cos2ωt=-y/4,

cos2ωt=x/3,

-y/4=x/3,

y=(-4/3)x.

Получившееся равенство представляет собой прямую линию, график которой представлен на рисунке 3.2.

Рисунок 3.2 – График траектории точки

Таблица 3.9 – Задание 3.8 по вариантам

№ варианта Уравнение первого колебания, см Уравнение второго колебания, см
x=cosωt y=4cos(ωt+π)
x=3cosωt y=6cos(ωt+π)
x=2cos2ωt y=8cos(2ωt+π)
x=5cos3ωt y=10cos(3ωt+π)
x=10cos4ωt y=10cos(4ωt+π)
x=8cos2ωt y=24cos(2ωt+π)
x=12cos6ωt y=36cos(6ωt+π)
x=15cos8ωt y=5cos(8ωt+π)
x=20cos2ωt y=4cos(2ωt+π)
x=5cosωt y=5cos(ωt+π)

Задание 3.9. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x=Asin(ωt+π/2), y=Asinωt. Определить уравнение траектории точки и начертить ее с нанесением масштаба. Определить направление движения точки по траектории.

Решение. Выполним некоторые преобразования в уравнениях колебания:

х=Acosωt,

x2+y2=A2cos2ωt+A2sin2ωt,

x2+y2=A2.

Последнее уравнение представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом, равном амплитуде А. Если подставить значения времени в уравнения движения по осям x и y, можно получить направление движение точки. В данном случае против часовой стрелки. Траектория движения представлена на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3 – Траектория движения точки

Таблица 3.10 – Задание 3.9 по вариантам

№ варианта Уравнение первого колебания, м Уравнение второго колебания, м
x=Acos(ωt-2π) y=Asinωt
x=0,5Asin(ωt+π/2) y=0,5Asinωt
x=Acos(ωt) y=Asinωt
x=4Asin(ωt+π/2) y=4Asinωt
x=5Asinωt y=5Asin(ωt+π/2)
x=0,1Asin(ωt+π/2) y=0,1Asinωt
x=Asinωt y=Acosωt
x=0,1Asinωt y=0,1Asin(ωt+π/2)
x=3Asinωt y=3Acosωt
x=A2 sin(ωt+π/2) y=A2 sinωt

Задание 3.10. Тело массой m=100 г, совершая затухающие колебания, за время τ=1 мин потеряло 40 % своей энергии. Определить коэффициент сопротивления r.

Решение. Коэффициент сопротивления определяется через коэффициент δ затухания при механических колебаниях

δ=r/2m.

Энергия колебаний определяется по формуле

.

Амплитуда колебаний изменяется согласно закону

,

где Ао – начальная амплитуда колебаний.

Напишем отношение энергий колебаний в начальный момент времени к энергии колебаний через время τ=1 мин и получим коэффициент затухания

Учитывая полученное выражение, найдем коэффициент сопротивления

.

Ответ: r=8,51.10-4 кг/с.

Таблица 3.11 – Задание 3.10 по вариантам

№ варианта Масса тела, г Время Потери энергии, %
20 с
25 с
30 с
40 с
50 с
1 мин
1,5 мин
2 мин
2 мин 10 с
2 мин 25 с

Задание 3.11. Период затухающих колебаний системы составляет 0,2 с, а отношение амплитуды первого и шестого колебаний А1/А6=13. Определить резонансную частоту данной колебательной системы.

Решение. Амплитуда затухающих колебаний определяется через начальную амплитуду Ао и коэффициент δ затухания

.

Отношение амплитуд получается равным

.

Из этого соотношения найдем коэффициент затухания

.

Угловая резонансная частота ωрез и угловая частота ω колебаний определяются через собственную угловую частоту ωо колебаний, период Т колебаний и коэффициент затухания

Искомая резонансная частота колебательной системы равна

.

Вычисления по приведенным формулам дают величину 4,98 Гц.

Ответ: νрез=4,98 Гц.

Таблица 3.12 – Задание 3.11 по вариантам


9532578285993205.html
9532610145545899.html
    PR.RU™